Interferência de ondas de duas fontes coerentes


No capítulo 5, consideramos o campo resultante da sobreposição de duas ondas que se propagam na mesma direcção, mas em sentidos opostos, e discutimos o fenómeno de ondas estacionárias. As duas fontes tinham uma diferença de fase constante. Neste capítulo estudaremos quais são os efeitos da propagação no mesmo espaço de duas (ou mais) ondas coerentes entre si, mas com diferentes direcções do vector de onda. Começaremos com a análise de uma situação simples de duas ondas, e vamos descobrir um fenómeno análogo ao da interferência de dois osciladores e batimentos resultantes, mas que acontece no espaço e não no tempo.

Figura 8.1 - Interferência de ondas emitidas por duas fontes S1 e S2


Consideremos duas fontes S1 e S2 (figura 8.1) que emitem ondas esféricas. Na realidade, como o ponto de observação P no qual vamos calcular o campo está muito distante das fontes (ro>>d), as frentes de onda podem ser consideradas planas. Vamos calcular, especificamente para o caso das ondas serem electromagnéticas, o campo eléctrico no ponto P. Recorde-se que a luz é uma onda electromagnética, portanto a configuração da figura representa muitas situações de interesse prático. Com a aproximação de corrente da distância ser grande, apesar do campo na vizinhança ser da forma E0/r cos(ωt-kr), no ponto P as ondas são planas e o campo é a soma dos campos provenientes das duas fontes:


Estamos a supor que as fontes são de igual potência, coerentes com diferença de fase nula, etc, enfim, que elas são praticamente idênticas. Utilizamos esta situação simples a fim de ilustrar a metodologia e os principais resultados de uma maneira mais clara.


A intensidade no ponto P será proporcional à média temporal do quadrado do campo eléctrico no mesmo ponto,



Esta intensidade pode ser expressa em termos da intensidade I0 que uma só fonte origina em P. Fazendo a aproximação r0 r1,r2 vem




E assim,

sendo Δφ ≡ k(r1-r2)

a diferença de fase entre as oscilações dos campos eléctricos correspondentes às duas fontes. Note-se que esta diferença de fase é meramente devida à diferença entre os percursos r1 e r2 das duas ondas, e significando apenas que as frentes de onda demoram tempos diferentes a chegar ao ponto P. Na figura 8.1 vê-se que a d.d.f Δφ depende da posição do ponto de observação, existindo pontos em que Δφ=(2n+1)π, de tal forma que a intensidade nesses pontos é nula. Por outro lado, nos pontos em que a d.d.f é um múltiplo inteiro de 2π, a intensidade é máxima, sendo igual a 4I0
É importante salientar que o resultado do equação (8.4) depende da polarização das ondas emitidas pelas fontes; para que se observem fenómenos de interferência é necessário que as duas fontes, além de serem coerentes, emitam ondas do mesmo estado de polarização. É fácil de verificar que se uma onda é de um estado de polarização ortogononal ao da outra, não há anulamento do campo.

O resultado é, por outro lado, válido para qualquer tipo de onda, de duas ou três dimensões, como ondas sonoras, ondas à superfície de um líquido, etc.



Aspectos práticos de observação de interferência

Para a observação do fenómeno de interferência, isto é, do anulamento do campo em alguns pontos e do seu aumento em outros, é preciso que as fontes sejam coerentes: elas podem ter qualquer diferença de fase, desde que seja constante no tempo. Também é facil de verificar que se as duas fontes não têm a mesma intensidade, mas são coerentes, o anulamento não é completo e os mínimos de intensidade variam tomam respectivamente valores os valores (√I2-√I1)2 e (√I2+√I1)2

No âmbito da aproximação que fizemos ao considerar que os pontos de observação estavam longe das fontes, a observação da interferência depende da direcção θ=0 e não da localização exacta do ponto P; a dois pontos com ângulos iguais correspondem iguais intensidades. Em termos de θ e da separação d entre as fontes, a relação (8.4) vem


A equação (8.5) aplica-se ao caso em que a d.d.f entre as fontes é nula. Então, podemos ver que a direcção θ=0 é sempre uma direcção uma direcção de intensidade máxima, e que para a observação de um mínimo devemos ter



ou d≥λ/2. Quando d=±λ/2, so mínimos aparecem nas direcções θ=±π/2

Na óptica, contudo, a situaçao mais vulgar é aquela em que d>>λ, e portanto, mesmo na vizinhança do ângulo θ=0, podemos observar muitos máximos e mínimos. A aproximação a fazer neste caso é senθ≈ θ ≈ tgθ = x/l, e os pontos máximos e mínimos são dados por 

sendo n um número inteiro. Logo, se colocarmos um écran a uma distância L das fontes luminosas coerentes, vamos observar máximos e mínimos de intensidade; a distância entre dois máximos (mínimos) consecutivos, intercalados por um mínimo (máximo), será Lλ/d.O facto de o ponto θ=0 não ser um ponto de intensidade máxima é indicador da existência de uma d.d.f não nula entre as duas fontes.



8.3 Fontes coerentes e interferómetros

A medição da distância entre mínimos ou máximos consecutivos pode ser aproveitada para a determinação de uma das três grandezas L, λ, ou d, desde que as outras duas sejam conhecidas. Como medidor de distância de grande precisão, o fenómeno de interferência tem muitas aplicações, e, consequentemente, têm-se desenvolvido várias maneiras práticas de obter duas fontes coerentes - condição absolutamente necessária para a observação do fenómeno. Neste secção descreveremos três dos métodos mais frequentemente utilizados.

Um deles é o da separação de uma onda em duas, através de uma técnica chamada divisão da fonte. O exemplo paradigmático ocorre quando um obstáculo opaco com duas fontes é colocado em frente de uma qualquer fonte S vulgar


As frentes de onda emitidas por S são esféricas (ou cilíndricas no caso de S ser uma fonte linear extendida na direcção normal ao monitor) e as fendas S1 e S2 são atravessadas num mesmo instante. Portanto, as oscilações originadas pela frente nas fendas estão sempre em fase. Deve-se notar que as distâncias entre S e cada uma das fendas não são iguais, as duas ondas emitidas terão uma diferença de fase não nula; essa d.d.f é constante, todavia, e pode ser facilmente determinada, desde que se saiba a geometria da situação. Um interferómetro baseado neste princípio da divisão da divisão por fendas foi utilizado no século passado por um cientista de nome Young, para demonstração da interferência e para a medição de comprimentos de onda da luz. O método pode ser usado também para as micro-ondas, que têm comprimentos de onda pequenos. A construção de um interferómetro deste tipo para ondas com λ da ordem de grandeza do metro apresentaria grandes dificuldades práticas.

O segundo método, chamado método de divisão da amplitude, é exemplificado pelo interferómetro de Michelson. O interferómetro aproveita o facto simples da divisão de umao onda, que incide numa superfície de separação entre dois meios, em duas ondas: uma reflectida e uma transmitida.


De facto, o método é bastante prático para aumentar a radiação numa direcção desejada, ou, num caso mais geral e conjungando várias antenas, para produzir qualquer padrão de radiação. 

8.4 Aplicação dos interferómetros

Os interferómetros ópticos têm um grande número de aplicações, sobretudo na área da metrologia. A metodologia geral pode ser descrita utilizando um interferómetro de Michelson como exemplo. Suponhamos que, para um determinado arranjo das posições de M1 e M2, se observa um mínimo no ponto P. Nesta situação, se M2 se move de uma distância
λ/4, o mínimo se vai mudar para a anterior posição de um máximo de intensidade. Assim, é possível detectar um movimento (do espelho M2) da ordem de grandeza de 1000 Angstron = 10-5 cm, desde que um dos pontos possa ser colocado num dos espelhos (M1 ou M2). No exemplo anterior a luz azul foi utilizado como luz incidente; é claro que a precisão (ou resolução) aumenta com a diminuição do comprimento de onda utilizada.

Outra importante aplicação metrológica é a medição de ângulos, especialmente ângulos que objectos astronómicos (como estrelas) fazem sobre telescópios terrestres. .

Para explicar o princípio subjacente, utilizamos o interferómetro de fenda dupla de Young mas na configuração invertida; o ponto de observação P substitui a fonte pontual. Duas fontes S1 e S2 emitindo ondas planas (raios paralelos) fazem ângulos
θ1 e θ2. Considerando apenas a fonte S1, o ponto P será de intensidade máxima se dsenθ = nλ. Então, a condição de P ser um ponto brilhante (de intensidade máxima por oposição aos pontos escuros que são de intensidade mínima) depende de θ, e, consequentemente, odeslocamento angular pode ser medido. Este tipo de interferómetro é usado para medir o diâmtro de estrelas grandes, o movimento de satélites etc...
Um terceiro tipo de aplicação de interferómetros consiste num dispositivo que seleciona uma onda harmónica de um único comprimento de onda a partir de uma fonte que emite ondas de várias frequências. Mais uma vez, vamos apenas descrever sinteticamente os princípios do métido, utilizando o interferómetro de fenda dupla como exemplo.

Na figura 8.9., S é uma fonte que emite ondas de duas frequências (ou de dois comprimentos de onda .... e ....Cada uma dessas ondas produz a suaa figura de interferência no plano de observação (alvo), e a intensidade total é a resultante da sobreposição das duas figuras. Sendo os dois comprimentos de onda diferentes, deve existir um valor de n (ver equação 8.7) para o qual, num mesmo ponto de posição x, o máximo de intensidade devido a ...., se seobrepõe a um mínimo devido a .....Portanto, se o alvo consistisse num alvo inteiramente opaco, excepto na posição x, ele só deixaria passar ondas de comprimento de onda .....A condição necessária é ..........

O mesmo princípio é utilizado no dispositivo chamado monocromador, aí a interferência resulta não de duas fendas mas sim de um conjunto de várias fendas colcadas perpendicularmente. A esse dispositivo dá-e o nome de rede de difracção. Discutiremos pormenorizadamente o fenómeno de difracção na secção seguinte. 
Nas aplicações dos interferómetros que envolvem a distinção de objectos próximos, a intensidade no plano de observação é devido à sobreposição de duas figuras de interferência (figura 8.8) e a resolução de objectos depende da possibilidade de inferir a existência de duas figuras de interferência no padrão de intensidade total. Qual é o critério que podemos utilizar para afirmar que duas figuras estão resolvidas? Analisaremos a questão a partir de um exemplo concreto: o da determinação da posicão de estrelas por meio de um interferómetro. Note-se que, se o máximo da figura de S1 ficar exactamente no mesmo sítio de um determinad omínimo devido a S2, a intensidade total não vai indicar nenhuma variação com ...(ângulo do telescópio), e não será possível saber se existem duas estrelas. Por outro lado, se aos máximos de uma estrelas corresponderem os máximos de outra, também não podemos resolver as duas figuras. Um dos critérios que se pode utilizar é o critério de Taylor, em que as figuras são consideradas separadas ou resolvidas se o máximo de uma coincidir com o ponto em que a intensidade da outra é metade do seu valor máximo (ver figura 8.9). Se o ponto P de observação correponde ao máximo devido a S1 entao:
.......
e o valor da intensidade devida a S2, exige que .................

Na prática, este critério é muito restritivo e susceptível de ser bastante melhorado; o objectivo dos cáculos esquematizados acima, foi apenas para dar uma indicação acerca do tipo de argumentos que são desenvolvidos para chegar a um critério de resolução.

8.5 Intensidade num ponto ponto devido a várias fontes

A intensidade total num ponto como resultante da sobreposição dos campos provenientes de várias fontes coerentes (ver figura 8.10) é q generalização natural do caso que estudámos na secção 8.1 - o de apenas duas fontes.

............

Consideremos uma vez maius ondas electromagnéticas. O campo total no ponto P é dado pela soma dos campos de n ondas: 
...............

Vamos estudar o caso simples em que as fontes têm todas a mesma fase, e a disposição geométrica delas é linear, com uma distância entre fontes consecutivas constante e igual a d. Vamos ainda manter a aproximação de que a distância entre as fontes e o ponto de observação são suficientemente grandes para que a diferença de percursos de ondas orginárias de fontes contíguas (Sk e Sk-1) possa ser escrita como dsen....., isto é, rk-rk-1=dsen....Portanto, o campo em P vem
.......................

Nos passos acima tomámos ..... Para a intensidade, temos ...... onde ......... é a intensidade no ponto de observação devida apenas a uma fonte. Verfica-se facailmente que a equação (8.12) se reduz à equação (8.4) quando n=2. A forma funcional da variação de intensidade é dada pela função (sen(nx)/senx)2 que tem máximos de valor n2 para x=0,.....etc...Por exemplo, para x=.....,
...........

A existência de máximos de intensidade nos pontos considerados pode ser provada mostrando que a primeira derivada em ordem a x da função sen(nx)/senx 
e nula nesses pontos. Estes máximos chamam-se de principais; a justificação do adjectivo principal é dada em seguida: vamos analisar a variação da intensidade na vizinhança de um máximo principal x=0 por exemplo. Para n>1 (no nosso caso n é maior que 2), o primeiro ponto de intensidade nula acontece quando nx=...., ou seja, quando ......, o segundo para ..... etc...Entre estes dois mínimos devemos encontrar um máximo, e é fácil de verificar que no ponto correspondente a nx=.......... temos intensidade ...........

Para n grande, é possível escrever o valor da intensidade neste ponto de máximo secundário:
..........

É de notar que a intensidade nessse ponto é apenas ......, ou seja, do intensidade do máximo principal. A aproximação não é correcta para n=3; mesmo assim a intensidade do máximo secunsário é apenas 10% da intensidade no ponto x=0. A intensidade dos máxmimos secundários vai dminuimdo à medida que nos afastamos do máximo principal, mas não tão drasticamente. A variação da intensidade em função de ....... está esquematizado na figura 8.11.
É notável com a figura de interferência se altera radicalmente quando acrescentamos somente mais uma fonte (ou fenda) às duas fontes estudadas nas secções anteriores : de uma série regular de máximos iguais passa-se a um padrão de intensidade completamente assimétrico.
Nas duas secções seguintes iremos aprensentar duas aplicações práticas de sistema de n fontes.

8.6 Redes de antenas 

Para uma antena dipolar simples,, a figura de radiação, a intensidade como finção do ângulo no plano horizontal, é apenas um círculo. Portanto, a intensidade irradiada em qualquer direcção em volta da antena é igual, ou, por outras palavras, a antena é isotrópica. Por vezes é necessário que a intensidade seja reforçada numa dada direcção, em detrimento de outras. Utilizando um conjunto de antenas colocadas numa posição geométrica adequada é possível obter um máximo de intensidade numa ou mais direcções escolhidas. A mais simles disposição é um fila de antenas igualmente espaçadas. As direcções correspondentes aos máximos de intensidade dependem de ...., a d.d.f total entre as ondas provenientes de duas antenas contíguas. .....é a soma das diferenças de fase devidas à diferença de percurso e a alguma d.d.f nas oscilações das antenas. É relativamente fácil no caso de antenas de ondas electromagnéticas das bandas RF, UHF e mocro-ondas (100 MHz - 10 GHz) criar esta diferença de fase dos sinais através dos cricuitos eléctricos, ou mesmo, no caso das micro-ondas, utilizando cabos de comprimentos diferentes. Uma antena de rádio não é apenas um emissor de ondas electromagnéticas mas tambem serve como receptor de ondas electromagnéticas provenientes de uma outra fonte qualquer. Uma antena isotrópica na emissão também o é na recepção. Logo, os métodos que permitem aumentar a radiação numa dada direcção, também servem para aumentar a sensibilidade da antena (ou melhor do sistema de antenas) para recebeer um sinal vindo dessa direcção. É a partir deste princípio que se constroem interferómetros de enorme sensibilidade para captar sinais (ondas electromagnéticas) oriundos de outros objectos astronómicos do nosso Universo. Para captar sinais fracos, na gama de frequência dos MHz, provenientes de galáxias distantes, existem projectos em que as distâncias d entre as antenas é de vários quilómetros! É de notar que do aumento do parâmetro d, resulta a diminuição do intervalo angular entre dois mínimos adjacentes do máximo principal, incrementando, portanto, a descriminção da orientação do sistema de antenas para a direcção indicada.

8.7 Como vimos na secção anterior, o interferómetro de Young, ou interferómetro de fenda dupla, pode funcionar como monocromador, ou seja, como um dispositivo que separa uma onda harmónica de uma única frequência a partir de uma mesma fonte que emite ao mesmo tempo e na memsa direcção ondas de diversos comprimentos de onda. O poder de resolução do interferómetro pode ser consideravelmente melhorado aumentado o número de fendas. A este novo dispositivo dá-se o nome de rede de difração e uma rede de difração típica consistre em alguns milhares de linhas (fendas) num espaço de um centimetro, isto é, d é da ordem de grandeza de 10^-2 cm e n de 10^3. Na configuração mais simples, a luz de várias cores, incide na na rede sobre a forma de um feixe paralelo. Nesta aplicação, o critério de melhorar a rede baseia-se na separação angular que se pode obter entr dois máximos principais devido a dois